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Vincent Borrelli, Jean-Luc Rullière, En cheminant avec Kakeya. Voyage au cœur des mathématiques

Adrian Valentin Mustăţea
En cheminant avec Kakeya
Vincent Borrelli, Jean-Luc Rullière, En cheminant avec Kakeya. Voyage au cœur des mathématiques, Lyon, ENS Éditions, 2014, 160 p., ISBN : 3 978-2-84788-415-9.
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Texte intégral

1On n’est pas intellectuel sans une curiosité orientée vers des domaines connexes, voire opposés par rapport à sa formation scientifique de base. Le monde contemporain étant un monde de connexions, de « réseaux » du type Internet, on ne peut pas ignorer les connexions spécifiques aux mathématiques. Celles-ci donnent lieu à des manières de penser inédites et, par conséquent, à des résultats surprenants. Même si on ne comprend pas la totalité d’un ouvrage du domaine des mathématiques, on doit tenir compte du fait que la capacité d’un livre à transmettre des questions est fondamentale.

2C’est justement à une question rebelle, à laquelle plusieurs cerveaux ont essayé de trouver une solution, que s’intéresse le présent ouvrage : « Quelle est la plus petite surface à l’intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille de manière à la retourner complètement ? ». Le mathématicien japonais Sôichi Kakeya se posait cette question dès le début du XXe siècle, plus précisément en 1917. Le volume ne se propose pas de répondre d’une manière exhaustive à cette question, mais de faire connaître aux passionnés des tournures de la pensée un des problèmes captivants des mathématiques. Tout se passe au départ dans une dimension plane, mais les auteurs nous donnent l’occasion d’extrapoler la question de Kakeya aux dimensions 3, 4, 5, 6, 7, jusqu’aux dimensions au-delà de l’espace tangible. Les questions proposées par le volume portent entre autres sur les nombres qui ne se divisent que par eux-mêmes et par un (les nombres premiers). La répartition des nombres premiers fait, d’ailleurs, l’objet de certaines questions des auteurs et des autres mathématiciens dont la pensée est exposée ici.

3Ce voyage inédit dans le monde de la science est destiné également aux lycéens et aux étudiants car il offre des explications sur la théorie des nombres et la question évoquée. Les notions auxquelles les lecteurs passionnés des mathématiques sont habitués sont présentées d’une manière distincte par rapport aux explications qui visent les formules et les théorèmes.

4Le volume est structuré en huit chapitres, dont quatre finissent avec un sous chapitre dénommé Avancée sur la question de Kakeya. La dérivation, le calcul intégral, la formule de Stokes, les équations différentielles, le théorème de Besicovitch et les perspectives ouvertes sur la conjecture de Kakeya, ainsi que des curiosités ou des casse-tête du monde des mathématiques nous sont proposées. Le point de départ des énigmes est la pensée des « classiques » des mathématiques, tels Archimède ou Descartes. Le problème de Pierre de Fermat et le théorème des quatre couleurs, ou encore les « grandes questions » mathématiques de David Hilbert et Henri Poincaré font aussi l’objet de l’attention des auteurs.

  • 1 Pierre de la Harpe, « Coloriages de cartes : mathématiques, droit, géographie et politique » — Imag (...)

5La conjecture de Kakeya est un problème qui correspond à des aspects concrets de la vie humaine, ou bien à des jeux de la pensée des plus pratiques qui font preuve parfois d’un caractère ludique. Pour donner un exemple, le théorème des quatre couleurs, auquel renvoie le texte, pose le problème suivant : comment « déterminer le nombre minimal de couleurs suffisant à colorier toute carte de géographie dessinée sur une sphère, de telle sorte que deux pays adjacents soient toujours de couleurs différentes ; […] d’où une conjecture célèbre : quatre couleurs suffisent dans tous les cas »1.

  • 2 Pierre de la Harpe, « Coloriages de cartes : mathématiques, droit, géographie et politique » — Imag (...)

6Illustrant le principe de l’interdisciplinarité, le théorème des quatre couleurs répond à un problème de géographie, de mathématiques, mais également de géopolitique. Ce problème de pensée met en évidence des questions originales comme « un exemple de théorème, dû à Whitney (1931), qui ramène le cas général à une classe plus restreinte de cas ; pour démontrer la conjecture des quatre couleurs, il suffit de montrer qu’on peut colorier avec quatre couleurs toute carte dessinée sur la sphère dont chaque pays a une portion de territoire sur l’équateur »2.

7Les énigmes exposées s’enchaînent : le paradoxe du peintre suppose « qu’il est possible de construire un mur dont la longueur est infinie et dont l’aire est finie » (p. 58). En plus, ce mur pourrait être peint avec un seul pot de peinture. C’est une des « devinettes » parsemées dans les pages du volume et pour laquelle le lecteur est invité à trouver des solutions ou des réponses.

8Une des figures géométriques présentées est utile pour la démonstration : ayant comme point de départ un assemblage de pentagones dont l’aire est 1 et qui est soumis à une série d’évidements, on obtient finalement un objet d’aire nulle. En sens inverse, et dans un domaine différent – la littérature – on découvre comment un texte littéral devient un texte à connotation littéraire. De ce point de vue les métaphores de Gabriel Garcia Marquez dans le roman L’amour aux temps du choléra sont particulièrement parlantes, transformant d’une manière presque palpable un texte littéral en un texte littéraire : pour l’écrivain colombien « la vieillesse est contagieuse », comme une maladie banale et concrète. Il est bien connu que la vieillesse n’est pas contagieuse, mais le rhume, par exemple, peut l’être. De la même manière que le texte littéral peut devenir un texte littéraire, le procédé inverse est possible aussi : il suffit de remplacer le mot « vieillesse » par « rhume » dans le contexte mentionné et on y arrive. Dans les mathématiques, le procédé d’extension d’une ligne indéfiniment repliée qui se ramifie a pour résultat une figure dont l’aire est égale à zéro, mais qui ressemble beaucoup à un triangle ou à un pentagone évidés, dont l’aire est supérieure à zéro. C’est l’arbre de Pythagore.

9Le passage entre un objet dont on peut calculer l’aire et un objet d’aire nulle rappelle aussi les jeux qui résultent du changement de catégorie grammaticale dans un énoncé : « La petite brise la glace », où la petite est un nom et brise est une forme verbale est différent de « La petite brise la glace », avec le verbe glacer à l’indicatif présent et la, qui est utilisé en tant que pronom complément direct. Dans ce cas, tout comme dans les mathématiques, rien ne se perd, tout peut être réutilisé dans un contexte différent. C’est de cette manière qu’on peut mettre en parallèle des combinaisons de lettres ou de mots avec les combinaisons des opérations mathématiques ou des transformations géométriques.

10Occasion de chercher des solutions aux problèmes proposés, l’ouvrage souligne l’aspect pratique de la question concernant la plus petite surface à l’intérieur de laquelle il est possible de déplacer une aiguille dans un des domaines de pointe de la science appliquée. Il s’agit de la technologie spatiale et d’un contexte qui a comme origine l’art japonais des origamis, c’est-à-dire l’art de plier le papier. Transformer ce jeu en problème mathématique d’ordre pratique a pour but d’obtenir le meilleur pliage possible afin de loger une voile dans une fusée : « Une voile susceptible de mouvoir un appareil spatial doit donc être de très grande dimension. Tout le problème est alors de plier cette voile de façon optimale pour assurer à la fois son logement dans la coiffe de la fusée et son bon déploiement dans l’espace » (p. 107).

11Encouragement pour les jeunes à poursuivre l’étude des mathématiques par l’intermédiaire d’une approche très pratique, mais aussi manière ludique de s’habituer à ce langage spécifique, le problème de Kakeya est relancé sous plusieurs formes. Cela permet ainsi de démontrer que les mathématiques ne sont pas le domaine des abstractions sans application dans la vie réelle, ou des chemins sans fin, mais un domaine où la pensée active doit rejoindre élégamment la créativité.

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Notes

1 Pierre de la Harpe, « Coloriages de cartes : mathématiques, droit, géographie et politique » — Images des Mathématiques, CNRS, 2013, en ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Coloriages-de-cartes-mathematiques.html

2 Pierre de la Harpe, « Coloriages de cartes : mathématiques, droit, géographie et politique » — Images des Mathématiques, CNRS, 2013, en ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Coloriages-de-cartes-mathematiques.html

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Pour citer cet article

Référence électronique

Adrian Valentin Mustăţea, « Vincent Borrelli, Jean-Luc Rullière, En cheminant avec Kakeya. Voyage au cœur des mathématiques », Lectures [En ligne], Les comptes rendus, 2014, mis en ligne le 20 octobre 2014, consulté le 22 septembre 2017. URL : http://lectures.revues.org/15879

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Rédacteur

Adrian Valentin Mustăţea

Professeur de français langue étrangère à l’Académie des Forces aériennes Henri Coandă de Braşov, Roumanie, et professeur de français et roumain langues étrangères à l’Alliance française de Braşov, Roumanie, docteur en Lettres (thèse sur l’œuvre de Mircea Eliade)

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